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12_80 数と式/集合 / 集合と命題

命題[対偶を用いた証明と練習問題]

著者名: ふぇるまー
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命題の対偶

命題「p⇒q」の対偶は、「」でした。そして命題の対偶が真であれば、その命題は真となりましたね。(同じく対偶が偽であれば命題もまた偽でした)

この対偶の性質を利用して、命題が真(偽)であることを証明する問題についてみていきましょう。「対偶が真なので与えられた命題は真だよ」という流れで証明をしていきます。

問題 整数nについて、対偶を利用して次の命題を証明しましょう。

[命題]「n²が奇数であれば、nは奇数である」


説明をしやすくするために、「n²が奇数」を条件p、「nは奇数である」を条件qとしましょう。つまりこの命題は、「p⇒q」となりますね。この命題を証明するために命題と対偶の関係を利用します。つまり「p⇒q」の対偶「」が正しいかをチェックするということです。

「nは奇数である」の否定

まずをきちんと把握しましょう。
「nは奇数である」の否定は、「nは奇数ではない」すなわち「nは偶数である」ですね。偶数nは、整数kを使って

n=2k

と表すことができます。

「n²が奇数」の否定

次にを考えていきます。
「n²が奇数」の否定は、「n²が奇数ではない」すなわち「n²は偶数である」ですね。さきほどn=2kとしたので、n²はn=2kを代入して

n²=(2k)²=4k²=2(2k²)

kが整数なので、2k²も整数となります。つまり2(2k²)は偶数であるといえます。
以上のことから、「nが偶数であれば、n²は偶数である」ことがわかりました。

対偶だ正しいことが証明できたので、もとの命題である「n²が奇数であれば、nは奇数である」も成り立つことが証明されました。

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・命題[対偶を用いた証明と練習問題]

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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