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12_80 数と式/集合 / 集合と命題

命題[条件の否定と練習問題(=の否定・不等式の否定・言葉の否定]

著者名: ふぇるまー
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条件の否定

集合のところで、集合の否定(補集合)についてはやりましたが、ここでは「条件の否定」についてみていきます。

考え方は集合の否定のしかたと同じで、pという条件があったとき、「条件pではない」ことをpの否定といいます。そしてとかき、"pバー"と読みます。「〜ではない」を表すのに「バー」を用いるのは集合と同じですね。

せっかく説明しましたが、とりあえず「バー」のことは忘れて、練習問題を通して「条件を否定する」ことに慣れていきましょう。

練習問題

問題
次の条件の否定を述べなさい
(1) x=5
(2) x>2
(3) xは正の整数


(1) x=5の否定

x=5の否定はすなわち、「x=5ではない数の集まり」ですから、「x=5ではない」、つまり「x≠5」が答えとなります。

(2) x>2の否定

"x>2"のような不等式の否定は、数直線を使って考えてみましょう。
"x>2"を数直線にすると、次の図の斜線部になります。
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不等式の否定をするときによくやるミスが、「"x>2"の否定だから不等式を入れ替えて"x<2"が答え」とやってしまうことです。これは間違いです。なぜかというと、数直線を見れば答えがわかります。

"x>2"は、「2よりも大きい数」を表します。この否定は、「2よりも大きい数ではない」ですね。数直線をみたとき、そこに2は含まれていますか?それとも含まれていませんか

そう、"x>2"に2は含まれていません。ということは、「2よりも大きい数ではない」に2は含まれていなければならないんですね。

よって正しい答えは、"x≦2"となります。

(3) xは正の数の否定

(2)と同じように、「"xは正の数"の否定だから"xは負の数"が答え」とよくやってしまいがちです。しかしこれも間違いです。

"xは正の数"の否定は、"xは正の数ではない"なので、正の数ではないものすべてが「"xは正の数"の否定」に含まれます。つまり答えは、「xは負の数、またはx=0」となります。

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・命題[条件の否定と練習問題(=の否定・不等式の否定・言葉の否定]

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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