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12_80 数と式/集合 / 集合と命題

命題[仮定と結論の意味・反例とは]

著者名: ふぇるまー
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仮定と結論

"xを自然数とするとき、「xが6の倍数』ならば「xは3の倍数」"

この命題は真です。「xが6の倍数」という条件をp、「xが3の倍数」という条件をqとすると、この命題を「p⇒q」と表します。「p⇒q」のとき命題が真であるということは、「pという条件のもとでqはつねに成り立つ」を意味していると思いましょう。

このとき、pを命題の仮定、qを命題の結論といいます。
ちなみにpとqの関係をベン図に表すと次のようになります。
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pはqに含まれていますね。
つまり、「p⇒q」ということは「p⊂q」(pはqに含まれる)のと同じといえます。


2つの条件が同じ意味なとき

aを自然数とするとき、「p:aは偶数」と「q:aは2の倍数」の2つの条件がるとします。これらの条件の関係をみてみましょう。

「p⇒q」も、「q⇒p」も成り立ちますね。このような場合には、「p⇔q」とかきます。「p⇔q」は、pならばqが真、かつqならばpが真であることを意味します。

命題が偽のときは反例をあげる

xを自然数とするとき
「p:xは5の倍数」⇒「q:xは10の倍数」

この命題は偽ですが、偽のときは、ただ「命題は偽である」というだけではダメです。命題が偽である理由を示さなければなりません

「p:xは5の倍数」⇒「q:xは10の倍数」は、x=15、25、35・・・のときに成り立たちません。しかし命題が偽となるxの値を延々と書き続けるわけにはいかないので、最低でも1つ、命題が成り立たない理由を書きます。

「命題は偽である(x=15のとき)」

この命題が偽であることを示す理由のことを反例といいます。

命題が偽となるときは、最低でも1つ反例をつけるようにしよう

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・命題[仮定と結論の意味・反例とは]

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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