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12_80 数と式/集合 / 多項式の加法・減法・乗法

わかりやすく解説[対称式・基本対称式・交代式とは]

著者名: ふぇるまー
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対称式・基本対称式とは

文字を入れ替えても全く同じ式になる式のことを対称式といいます。どういうことかというと、例えば"x+y"のxとyを入れ替えると"y+x"になりますが、これは"x+y"の表すものと同じですね。

入れ替える前入れ替えたあと
x²+y²y²+x²
x+yy+x
xyyx


上に挙げた3つの式は、すべて対称式です。文字がxとyでなくてもかまいません。対称式は世の中にたくさんありますが、数ある対称式の中でも、"x+y"と"xy"のことを、基本対称式と言います。なぜかというと、すべての対称式の基になる式だからです。

対称式の性質

基本対称式はすべての対称式の基になると書きましたが、対称式には次のような性質があります。

すべての対称式は必ず、基本対称式の組み合わせで表すことができる


試しに、対称式"x²+y²"が、基本対称式で表せるか証明してみましょう。

(x+y)²=x²+2xy+y²より
x²+y²=(x+y)²-2xy

となり、"x+y"と"xy"の基本対称式で表すことができますね。
では"x³+y³"はどうでしょう。

(x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³より
 x³+y³
=(x+y)³-(3x²y+3xy²)
=(x+y)³-3xy(x+y)

となり、これも"x+y"と"xy"の基本対称式で表すことができますね。

交代式とは

"x²+y²"は対称式でしたが、"x²-y²"はどうでしょう。
xとyを入れ替えると"y²-x²"となりますが、"x²-y²"とは同じ式ではありませんね。

-(x²+y²)=y²-x²

このように、もとの式の記号を入れ替えると、元の式に-1をかけた式となる式のことを交代式といいます。
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2013 数学Ⅰ 東京書籍

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