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12_80 数と式/集合 / 実数/絶対値/平方根

高校数学 平方根の公式とその証明

著者名: ふぇるまー
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平方根の公式

平方根を含んだ式を計算するためには、次の計算法則を覚えておく必要があります。

a>0、b>0、k>0のとき




実際にこれらの公式が成り立つか、それぞれ証明をしていきます。

証明

√a√b=√ab

左辺を2乗します。

左辺²=(√a√b)²

指数の計算法則より


設問の条件、a>0、b>0より√a>0、√b>0。
このことから√a√b>0なので、√a√bは、abの正の平方根であることがわかりました。
一方で右辺の"√ab"もまたabの正の平方根であることから

が成り立ちます。

√a/√a=√a/b

左辺を2乗します。

左辺²=(√a/√b)²

指数の計算法則より


設問の条件、a>0、b>0より√a>0、√b>0。
このことから√a/√b>0なので、√a/√bは、a/bの正の平方根であることがわかりました。
一方で右辺の"√a/b"もまたa/bの正の平方根であることから

が成り立ちます。

√k²a=k√a

先ほど証明した"√a√b=√ab"より



(√a²)=|a|より√k²√aは



設問の条件よりk>0なので、絶対値をはずすと



以上のことから

は成り立ちます。
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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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