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12_80 数と式/集合 / 実数/絶対値/平方根

実数[有理数に含まれるもの・有理数と無理数の違い]

著者名: ふぇるまー
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実数

有理数に含まれるもの

有理数に含まれるものは、次の3つです。

・整数
・有限小数
・循環小数

それぞれの性質を説明していきます。

整数とは

1,2,3,4・・・を正の整数(または自然数)といい、-1,-2,-3,-4・・・を負の整数といいます。ちなみに"0"はどちらにも属しません。0、正の整数、負の整数を合わせて整数といいます。

※分数・少数は整数に含まれないので注意しましょう!


有理数とは

整数Aと、0ではない整数Bを使って、"A/B"の形で表す数のことを有理数といいます。例えば次の数は、すべて有理数です。

・4、0.3、2/3、-1/3

"4"は"4/1"と表せますし、"0.3"は"3/100"と表すことができるので、有理数です。

既約分数とは

分数の話が出てきたので、ちょっと寄り道をして既約分数について説明します。
例えば"25/100"は、約分をして"25/100=1/4"とできます。1/4のように、これ以上約分ができない分数のことを、既約分数といいます。

有限小数と無限小数

整数ではない有理数(分数など)を少数で表してみます。




"1/2"のように、うまく割り切れた綺麗な少数のことを有限小数、"1/3"のように、綺麗に割り切れずに小数点以下が限りなく続く少数のことを無限小数と言います。

循環小数

無限小数の中で、"0.121212・・・・"のように、小数点以下で同じ数が繰り返し登場してくる少数のことを循環小数と言います。このような場合、0.12121212121212・・・と永遠に書き続けるわけにはいかないので、省略して次のように書きます。
ALT

1と2の上に点がついていますが、これは1と2が繰り返し登場することを意味しています。

ALT


①は3の上にだけ点がついていますが、これは3だけが繰り返し表れることを意味するので、"0.133333・・・"を意味することになります。
②は、1と3の上に点がついていますが、これは1~3の間の数が繰り返し表れることを意味するので、"0.123123123123123・・・"を意味することになります。

有理数と無理数との違い

これまで有理数についてみてきましたが、有理数に含まれないもので無理数というものがあります。無理数とは、循環しない無限小数のことです。例えば



や、円周率を表すπ


などは、循環しない無限小数として知られています。
そして有理数と無理数をまとめたものを実数といいます。

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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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