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12_80 数と式/集合 / 因数分解

最も次数の低い項で整理してから行う因数分解の練習問題

著者名: ふぇるまー
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最も次数の低い項で整理してから行う因数分解

"a³+a²b-ac²-bc²"のように、2つ以上の文字を含む式を因数分解する場合、次数が最も低い文字について整理をすることで、因数分解がしやすくなる場合があります。

試しに"a³+a²b-ac²-bc²"を因数分解してみましょう。
"a³+a²b-ac²-bc²"で次数が最も低いのはbについて整理した場合です。

a³+a²b-ac²-bc²=b(a²-c²)+a³-ac²

続いて、定数項をもっとスマートにできないか考えます。
どうやら、aでくくり出せそうですね。

b(a²-c²)+a³-ac²=b(a²-c²)+a(a²-c²)

お!"(a²-c²)"という共通因数が見つかりました。

b(a²-c²)+a(a²-c²)=(a²-c²)(a+b)

まだこれで終わりではありません。"a²-c²"がまだ因数分解できますね。"a²-b²=(a+b)(a-b)"の公式より

(a²-c²)(a+b)=(a+b)(a+c)(a-c)

練習問題

問題 次の式を因数分解せよ
(1) x³-2x²y+x²-xy+y


x、yと文字が2つあるので、次数の低いyに着目をして整理していきます。

x³-2x²y+x²-xy+y=y(-2x²-x+1)+x³+x²

"y(-2x²-x+1)"を"-y(2x²+x-1)"に変形させ、定数項の"x³+x²"を"x²"でくくり出して"x²(x+1)"とします。すると

y(-2x²-x+1)+x³+x²=x²(x+1)-y(2x²+x-1)

"(2x²+x-1)"が因数分解できそうですね。
"(2x²+x-1)=(2x-1)(x+1)"より

x²(x+1)-y(2x²+x-1)
=x²(x+1)-y(2x-1)(x+1)
={x²-y(2x-1)}(x+1)
=(x²-2xy+y)(x+1)

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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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