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12_80 数と式/集合 / 因数分解

因数分解の解き方[工夫をして因数分解を解く練習問題]

著者名: ふぇるまー
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工夫をして因数分解を行う問題

式を因数分解するときに、ちょっと工夫をすることで楽に因数分解ができるようになります。練習問題を解きながら、楽に因数分解ができる方法を身につけていきましょう。

練習問題

問題 次の式を因数分解せよ
(1) x²-9y²+6x+9
(2) (x-y)(x-y-3)ー4
(3) x⁴-16


(1) x²-9y²+6x+9

項を並び替えることで因数分解が簡単にできないか試してみます。

x²-9y²+6x+9
=x²+6x+9-9y²

"x²+6x+9"の部分はうまく因数分解できそうですね。
"a²+2ab+b²=(a+b)²"の公式を用いて

x²+6x+9-9y²
=(x+3)²ー9y²

続いて"(x+3)²ー9y²"が因数分解できるかどうかを考えます。
"x+3"をひとくくりにしてAと考えてみると、

(x+3)²-9y²=A²-9y²

どうやら"a²-b²=(a+b)(a-b)"の公式が使えそうです。

A²-9y
=(A+3y)(A-3y)

あとはAを"x+3"に置き換えて
 (A+3y)(A-3y)
=(x+3+3y)(x+3-3y)
=(x+3y+3)(x-3y+3)

2回、3回と因数分解する可能性があることを覚えておきましょう


(2) (x-y)(x-y-3)-4

続いては、"x-y"を"A"と置き換えて試してみます。

(x-y)(x-y-3)-4
=A(A-3)-4

これだけでは因数分解は難しそうなので、一度展開してみましょう。

A(A-3)-4
=A²-3A-4

"x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)"の考え方を用いて

 A²-3A-4
=(A+1)(A-4)
=(x-y+1)(x-y-4)

因数分解するためには、1度展開をしてから因数分解するというパターンがあることを覚えておこう


(3) x⁴-16

x⁴-16という形から、
"a²-b²=(a+b)(a-b)"の公式が使えないかと考えます。

"x⁴=(x²)²"、"16=4²"なので

x⁴-16
=(x²+4)(x²-4)

"(x²-4)"は、さらに因数分解できそうですね。

(x²+4)(x²-4)
=(x²+4)(x+2)(x-2)

[別解]
x²を"A"と置き換えて解く方法もあります。
x²をAとしたとき

x⁴-16=A²-16

"a²-b²=(a+b)(a-b)"の公式より
A²-16
=(A+4)(A-4)

Aをx²に置き換えて
 (A+4)(A-4)
=(x²+4)(x²-4)
=(x²+4)(x+2)(x-2)
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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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