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12_80 数と式/集合 / 因数分解

因数分解"acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)"の練習問題

著者名: ふぇるまー
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acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

因数分解でやっかいなのが、
"acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)"の公式を使う因数分解です。問題を一緒に解きながら慣れていきましょう。

練習問題

問題 次の式を因数分解せよ
(1) 4x²-11x-3


"4x²-11x-3"と"acx²+(ad+bc)x+bd"を照らし合わせてみます。

・ac=4
・ad+bc=-11
・bd=-3

となるa、b、c、dの組み合わせを見つければよいのです。

ac=4

まず、ac=4となるaとcの組み合わせを考えます。
ac=4ということは、

[a=2,c=2]、[a=4,c=1]、[a=1,c=4]
[a=-2,c=-2]、[a=-4,c=-1]、[a=-1,c=-4]

の6通りが考えられますが、基本はa>0、c>0となる範囲で考えます。
なので、[a=2,c=2]、[a=4,c=1]、[a=1,c=4]の3パターンで考えていきます。

bd=-3

次に、"bd=-3"となるbとdの組み合わせを考えます。
bd=-3ということは、

[b=1,d=-3]、[b=-1,d=3]、[b=3,d=-1]、[b=-3,d=1]

の4通りが考えられますね。

以上のことから

以上の条件で、"ad+bc=-11"となるa、b、c、dの組み合わせを探していきます。
慣れるとパパっとできるようになりますが、こればかりは手探りでやっていくしかありません

試しに[a=2,c=2]と仮定します。
すると"ad+bc=-11"の式は"2d+2b=-11"となりますが、この式を満たすbとdの値はありません。

次に[a=4,c=1]と仮定します。
すると"ad+bc=-11"の式は"4d+b=-11"となります。この式は[b=1,d=-3]のときに成り立ちますね。

このことから、[a=4,b=1,c=1,d=-3]を"(ax+b)(cx+d)"に代入して、
"(4x+1)(x-3)"が求まります。

確かめ

答えが合っているか確認するために、求めた式を展開してみましょう。

=(4x+1)(x-3)
=4x-12x+x-3
=4x²-11x-3

となり、設問で与えられた式と同じものになりましたね。
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2013 数学Ⅰ 数研出版
2013 数学Ⅰ 東京書籍

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