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3_80 図形 / 3年:相似な図形

中学数学3 中点連結定理の証明

著者名: となりがトトロ
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中線連結定理の証明

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△ABCの辺AB、辺ACの中点をそれぞれM、Nとしたとき、次の定理が成り立ちます。



このテキストでは、この定理を証明していきます。

証明

△ABCにおいて、AM=MB、AN=NCより

AM:MB=AN:NC=1:1

となる。ここで、平行線と線分の比を思い出してみる。

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上図のように△ABCにおいて、辺ABと辺AC上に点Pと点QがあってPQ//BC(平行)なとき、次の定理が成り立つ。

AP:PB=AQ:QC


これが平行線(三角形)と線分の比の関係である。逆を言うと、AP:PB=AQ:QCであれば、PQ//BCとなる。

証明に戻ると、AM:MB=AN:NC=1:1なので、このことからMN//BCとなることがわかる。


続いて、△ABCと△AMNについてみていく。
Mは辺ABの中点であることから、AM:AB=1:2 -①
同様に、Nは辺ACの中点であることから、AN:AC=1:2 -②
∠BACはどちらの三角形も共通した角である。 -③

①、②、③より、2組の辺の比とその間の各がそれぞれ等しいという相似条件を満たすので、△ABCと△AMNは相似な三角形であることがわかる。

このことから、MN:BC=1:2であり、これを変形させて



証明おわり。
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『教科書 中学校数学3』 数件出版

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