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13_80 図形の性質(平面図形/空間図形) / 三角形の外心・内心・垂心・重心

三角形の垂心の証明

著者名: となりがトトロ
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三角形の垂心の証明

三角形の垂心

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三角形の各頂点から、対辺またはその延長上に下ろした3本の垂線は、1点で交わる


このテキストでは、この定理を証明します。

証明

△ABCの各頂点から、対辺に向かって垂線をおろす。(頂点Aからは辺BCに向かって、頂点Bからは辺ACにむかって、頂点Cからは辺ABに向かって。)下ろした直線は垂線なので、当然、各辺と垂直に交わることになる。

次に、頂点Aを通り辺BCと平行になる直線、頂点Bを通り辺ACと平行になる直線、頂点Cを通り辺ABと平行になる直線を引き、交点をそれぞれP、Q、Rとする。

以上の補助線を引いたものが、次の図である。
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RA//BC、PB//ACより、四角形RBCAは平行四辺形である。よって
BC=RA -①

同様にして、刺客荊ABCQも平行四辺形なので、
BC=AQ -②

①、②よりRA=AQ -③

BCとQRは平行、そしてADとBCが垂直に交わっていることから、
AD⊥RQ -④

③、④から、ADは辺QRの垂直二等分線であることがわかった。
同様にして、BEとCFはそれぞれ、辺RPと辺PQの垂直二等分線であることもわかる。

三角形において、3つの辺の垂直二等分線は1つの点で交わるので(三角形の外心)、△PQRの各辺の垂直二等分線もまた、同じ1つの点で交わる。

△PQRの垂直二等分線AP、BQ、CRは、AD、BE、CFを延長したものであるから、AD、BE、CFもまた1点で交わるといえる。

証明おわり。
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『教科書 新編数学A』 数研出版
『教科書 数学A』 東京書籍

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