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3_80 図形 / 3年:相似な図形

中学数学3 平行線と線分の比の証明

著者名: となりがトトロ
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平行線と線分の比

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上図のように△ABCにおいて、辺ABと辺AC上に点Pと点QがあってPQ//BC(平行)なとき、次の定理が成り立つ。

AP:PB=AQ:QC


このテキストでは、この定理を証明します。

証明

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図のように、点Qを通ってPBと平行になる補助線をかき、辺BCとの交点をRとします。

△APQと△QRCにおいてPQ//QCより、

∠AQP=∠QCR -①
(※平行な2つの直線における同位角は等しいことから)

また、AP//QRより、同じ理由で

∠PAQ=∠RQC -②

①、②より2組の角の大きさがそれぞれ等しいことから、△APQと△QRCは相似であることがわかった。よって

AP:QR=AQ:QC -③

次に四角形PBRQは平行四辺形なので、

PB=QR -④

③と④より、
AP:QR=AQ:QC=AP:PB=AQ:QC

以上で定理が成り立つことが証明できた。

証明おわり。

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『教科書 中学3』 数研出版

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