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13_80 図形の性質(平面図形/空間図形) / 円と直線(接弦定理/方べきの定理/共通接線)

接弦定理の証明(円周角が鈍角ver.)

著者名: となりがトトロ
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接弦定理:円の接線と弦の作る角


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円の接線とその接点を通る弦とがなす角は、その角内にある孤に対する円周角に等しい


このテキストでは、この定理を証明します。

円周角が鈍角の場合の証明

次の図のように円Oに接線をひき、その交点をAとする。また説明をしやすくするために、点Tを接線上にとる。そして、Aから円の中心を通る線ADをひく。ここでいう円周角とは、∠ACBのことである。
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∠BATが∠ACBと同じ大きさになるかを証明していくわけだが、まず

∠BAT=∠BAD+∠DAT

ATは円Oの接線、またADは円の直径であることから

∠DAT=90°

つまり、∠BAT=∠BAD+90° -①


次に∠ACBについて考える。

∠ACB=∠BCD+∠DCA

ADは円Oの直径なので、△DCAにおいて、∠DAC=90°

つまり、∠ACB=∠BCD+90° -②


最後に、∠BADと∠BCDの関係を調べる。
この2つの角は、共に同じ弦BDに対する円周角なので

∠BAD=∠BCD -③

①、②、③より

∠BAT=∠ACB

であることがわかる。
証明おわり。

・円周角が鋭角の場合の証明
・円周角が直角の場合の証明
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・接弦定理の証明(円周角が鈍角ver.)

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『教科書 新編数学A』 数研出版
『教科書 数学A』 東京書籍

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