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13_80 図形の性質(平面図形/空間図形) / 円と直線(接弦定理/方べきの定理/共通接線)

接弦定理の証明(円周角が鋭角ver.)

著者名: となりがトトロ
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接弦定理:円の接線と弦の作る角


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円の接線とその接点を通る弦とがなす角は、その角内にある孤に対する円周角に等しい


このテキストでは、この定理を証明します。

円周角が鋭角の場合の証明

次の図のように円Oに接線をひき、その交点をAとする。また説明をしやすくするために、点Tを接線上にとる。そして、Aから円の中心を通る線ADをひく。
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∠DATは直角であるから
∠BAT=90°ー∠DAB -①

一方、ADは円の直径なので、直径に対応する円周角は90°となることから

∠ABD=90° -②

①、②より

∠BAT=∠ADB -③

がわかる。
次に、∠ACBと∠ADBはどちらも弦ABに対する円周角なので、

∠ACB=∠ADB -④

③、④より

∠BAT=∠ACB

以上のことから、円周角が鋭角の場合に、接弦定理(円の接線と弦の作る角が等しい)が成り立つことがわかった。

証明終わり。

・円周角が直角の場合の証明
・円周角が鈍角の場合の証明
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・接弦定理の証明(円周角が鋭角ver.)

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『教科書 新編数学A』 数研出版
『教科書 数学A』 東京書籍

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