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13_80 図形の性質(平面図形/空間図形) / 円と直線(接弦定理/方べきの定理/共通接線)

方べきの定理の証明-点Pが円の外側と内側にある場合-

著者名: となりがトトロ
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方べきの定理


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円周上に異なる4つの点A、B、C、Dをとる。直線ABと直線CDの交点をPとするとき、


このテキストでは、この定理を証明します。

証明

方べきの定理は、(1)点Pが円Oの外にある場合と(2)点Pが円Oの内部にある場合の2パターンにわけて証明を行う。

(1)点Pが円Oの外にある場合

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四角形ACDBは円Oに内接する四角形なので、

∠PAC=∠PDB -①

△PACと△PDBにおいて、∠APCは共通。 -②

①、②より△PACと△PDBは2つの角の大きさがそれぞれ等しい三角形であることがわかる。つまり△PACと△PDBは相似である。

よってPA:PD=PC:PB。つまり

PA・PB=PC・PD

が成り立つことがわかる。

(2)点Pが円Oの内部にある場合

続いて「点Pが円Oの内部にある場合」を証明していく。
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△PACと△PDBにおいて、∠PACと∠PDBは、同じ弦の円周角なので

∠PAC=∠PDB -③

また、対頂角は等しいことから

∠APC=∠DPB -④

③、④より△PACと△PDBは2つの角の大きさがそれぞれ等しい三角形であることがわかる。つまり△PACと△PDBは相似である。

よってPA:PD=PC:PBつまり

PA・PB=PC・PD

が成り立つことがわかる。

以上のことから、方べきの定理が成り立つことが証明できた。
証明おわり。

・方べきの定理の証明-1本が円の接線の場合-
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・方べきの定理の証明-点Pが円の外側と内側にある場合-

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『教科書 新編数学A』 数研出版
『教科書 数学A』 東京書籍

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