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13_80 図形の性質(平面図形/空間図形) / 三角形の定理(中線定理/メネラウスの定理/チェバの定理)

チェバの定理の証明(点Oが三角形の中にあるとき)

著者名: となりがトトロ
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三角形の外心の性質


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△ABCの中でも外でも良いので、任意の点Oをとる。点ABCとOとをそれぞれ結ぶ線が向かい合う辺と点P,Q、Rで交わるとき


このテキストでは、この定理を証明します。

証明

チェバの定理を証明する前に、次の性質を知っておく必要がある。

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まずはこの証明を行う。
次の図のように、点Bと点CからAPもしくはその延長線上に垂線をおろし、APとの交点をそれぞれQ、Rとする。
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このとき△OABの面積は、

OA×BQ÷2 -①

同様にして、三角OACの面積は

OA×CR÷2 -②

①と②から、
△OAB:△OAC=BQ:CR -③

であることがわかった。次に、BQ//CRであることに着目する。

BQ//CRより、BP:PC=BQ:CR -④

③と④より
△OAB:△OAC=BP:PCつまり



となる。ではこれを利用してチェバの定理を証明していく。

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△OABと△OACにおいて、先ほど求めた定理を使って


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△OBCと△OBAにおいて、同様にして


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△OACと△OBCにおいて、同様にして


よって



が成り立つことがわかる。
証明おわり。
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『教科書 新編数学A』 数研出版
『教科書 数学A』 東京書籍

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