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13_80 図形の性質(平面図形/空間図形) / 三角形の外心・内心・垂心・重心

三角形の重心の性質とその証明・求め方

著者名: となりがトトロ
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三角形の重心の性質


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三角形の頂点と、その対辺の中点を結ぶ3つの線は1点で交わり、その点は各中線を2:1に内分する。頂点とその対辺の中点を結ぶ線のことを中線といい、この点のことを三角形の重心という。


このテキストでは、この定理を証明します。

証明

△ABCにおいて、辺ABの中点をP、辺ACの中点をQとし、BQとCPの交点をGとする。
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PとQは、それぞれ辺ABと辺ACの中点であるから、中点連結定理により、

PQ//BC
BC=2PQ

が成り立つ。よって
BG:GQ=CG:GP=2:1 -①

以上のことから、辺ABと辺ACの中線の交点Gは、それぞれの中線を2:1に内分することがわかった。次は、辺ACと辺BCの中線の交点がどうかを確認してく。

続いて次の図のように、辺ACと辺BCの中点をそれぞれQ、Rとし、BQとARの交点をHとする。
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先ほどと同じようにQとRは、それぞれ辺ACと辺BCの中点であるから、中点連結定理により

QR//AB
AB=2QR

が成り立つ。よって
BH:HQ=AH:HR=2:1 -②

以上のことから、辺ACと辺BCの中線の交点Hは、それぞれの中線を2:1に内分することがわかった。

①と②から、GとHは同じ点であることがわかる。(どちらもBQを2:1に内分するので)
これらのことから、三角形の3本の中線は1つの点で交わり、その点はそれぞれの中線を2:1に内分することがわかる。

証明おわり。
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『教科書 新編数学A』 数研出版
『教科書 数学A』 東京書籍

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