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13_80 図形の性質(平面図形/空間図形) / 三角形の外心・内心・垂心・重心

三角形の内心の性質とその証明

著者名: となりがトトロ
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三角形の内心の性質

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三角形の3つの内角それぞれの二等分線は、1点で交わる


このテキストでは、この定理を証明します。

証明

△ABCにおいて、下図のように、∠ABCと∠ACBの交点をOとする。Oから辺BC、辺CA、辺ABにそれぞれ垂直に線をひき、その交点をD、E、Fとする。
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まず、△FBOと△DBOについて考える。

線分BOは∠FBDの二等分線なので、
∠FBO=∠DBO -①

また、∠OFB=∠ODB=90° -②

△FBOにおいて
∠BOF=180°-(∠FBO+90°) -③

△DBOにおいて
∠BOD=180°-(∠DBO+90°) -④

①、②、③、④から
∠FOB=∠DOB
であることがわかった。

つまり、△FBOと△DBOは、1つの辺(辺BO)とその両端の角の大きさが等しいことから合同であると言える。
※三角形の合同条件

このことから、
OF=OD -⑤
となることがわかる。

△CEOと△CDOにおいても同様にして
OE=OD -⑥

であることがわかる。⑤と⑥から
OF=OE

であることもわかる。
つまり、△AFOと△AEOにおいて、斜辺の長さ(AO)とその他の1辺の長さが等しい(OF=OE)ことから、△AFOと△AEOは合同であると言える。
※直角三角形の合同条件

つまり∠FAO=∠EAOなので、AOは∠FAEも二等分することがわかる。
以上のことから、「三角形の3つの内角それぞれの二等分線は、1点で交わる」ことが証明できた。

証明おわり。

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『教科書 新編数学A』 数研出版
『教科書 数学A』 東京書籍

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