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13_80 図形の性質(平面図形/空間図形) / 三角形の辺と角

三角形の角の二等分線と辺の比の証明 

著者名: となりがトトロ
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三角形の角の二等分線と辺の比

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三角形ABCにおいて、∠BACを二等分する線とBCとの交点をDとしたとき、次の定理が成り立つ。


このテキストでは、この定理を証明します。

証明

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図のように、∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、ADは∠BACの二等分線なので

∠BAD=∠CAD -①

次に、下図のように頂点Cを通り直線ADと平行な直線をひく。
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この直線と辺BAの延長との交点をEとしたとき、ADとECは平行なので

∠BAD=∠ACE -②
∠DAC=∠ACE -③
※錯角より

①、②、③から、三角ACEは

AE=AC -④

の二等辺三角形であることがわかる。
(※2つの角が等しい三角形は二等辺三角形

次にADとECは平行であるので
BD:DC=BA:AE -⑤
(※平行線と線分の比

④と⑤より
BD:DC=AB:AC

が成り立つことがわかる。
証明おわり。
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『教科書 新編数学A』 数研出版
『教科書 数学A』 東京書籍

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