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15_80 数列 / 等比数列

等比数列の和を求める公式の証明

著者名: となりがトトロ
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等比数列の和を求める公式の証明

初項がa、公差がrの等比数列において、初項から第n項までの和は、

・r≠1のとき


・r=1のとき

で求めることができます。今回はこの公式を証明します。

証明

・r≠1のとき


初項がa、公比がrの等比数列を書きだしてみると



となる。第n項までの和Snを求めるためには

  -①

をすればよいのだが、これではいくら時間があっても足りない。
そこで、次の2つのステップをふむだけで簡単に公式を求められる方法を紹介したい。

ステップ1Snに公比"r"をかける

ステップ2公比rをかけできたrSnから、Snをひいてみる


ステップ1:Snに公比"r"をかける

Snに公比rをかけると

  -②

ステップ2:公比rをかけできたrSnから、Snをひいてみる

次に②-①をする。
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引いてできた式を整理すると




ちなみにここでは②-①をしたが、①-②をした場合に

が求まる。

・r=1のとき

続いてr=1の場合を考える。rが1ということは、初項がa、公比が1の等比数列ということなので、考える数列は



つまりすべての項がaということになる。この場合、第n項までの和Snは、で求まる。

以上のことから、等比数列の和の公式は
・r≠1のとき


・r=1のとき


であることがわかった。

証明おわり。
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『教科書 数学B』 東京書籍
『教科書 数学B』 数研出版

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