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15_80 数列 / 等差数列

等差数列の和を求める公式の証明

著者名: となりがトトロ
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等差数列の和を求める公式の証明

初項がa、公差がdの等差数列において、初項から第n項までの和は、



で求めることができます。今回はこの公式を証明します。

証明

証明の方法を理解するために、まずは具体的な数字の入った数列を例に考えていく。



これは、初項が2、公差が2、項数が5の等差数列である。初項2から第5項10までの和は、

  -①

となる。一方で、足し算の順番を変えて

  -②

と書くこともできる。①+②をすると、次のような計算ができる。
ALT


これと同じことを、今度は初項がa、公差がdの数列で考えていく。
この数列において、第n項はであり、初項から第n項までの和は、

  -③


一方で、先ほどと同じように次のようにも表せる。
  -④

③+④をすると
ALT



 -⑤

また、初項がa、公差がdの数列の一般項は

なので、これを⑤に代入すると



以上のことから

であることがわかった。

証明おわり。
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『教科書 数学B』 数研出版
『教科書 数学B』 東京書籍

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