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14_80 三角関数 / 加法定理/倍角の公式

半角の公式 tan²α/2=(1-cosα)/(1+cosα)の導き方と使い方(証明・練習問題)

著者名: となりがトトロ
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tan²α/2=(1-cosα)/(1+cosα)の証明


tan²α/2=(1-cosα)/(1+cosα)の証明の前に、2倍角の公式:cos2α=2cos²α-1=1-2sin²αが成り立つことを理解しておきましょう。2倍角の公式が成り立つことを前提に証明をしていきます。

証明

sin、cos、tanの関係より


なので、両辺を2乗すると
  -①

となる。このとき2倍角の公式よりcos2α=2cos²α-1=1-2sin²αなので、これをそれぞれ変形すると

  -②


 -③

②式、③式を①式に代入すると



ここで、「α」を「α/2」に置き換えると



が成り立つことがわかる。
証明おわり。

練習問題

半角の公式を用いて、tan30°の値を求めよ。


tan30°ということは、ということなので、半角の公式より





0°≦θ≦90°のとき、tanθはtanθ>0となることから、tan30°>0であることがわかる。このことから


答え:tan30°=1/√3
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『教科書 数学Ⅱ』 東京書籍

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