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14_80 三角関数 / 加法定理/倍角の公式

2倍角の公式 tan2α=2tanα/(1-tan²α)の証明と例題

著者名: となりがトトロ
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tan2α=2tanα/(1-tan²α)の証明


2倍角の公式のうち、tan2α=2tanα/(1-tan²α)の証明を行っていきますが、証明を行う前にtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)が成り立つことを理解しておきましょう。加法定理が成り立つことを前提に証明をしていきます。

証明

tan2αを変形して

とします。ここに加法定理を用いると、



以上のことから


が成り立つことがわかる。
証明おわり。

練習問題

sinα=1/2のとき、tan2αの値を求めよ。
ただし、0°≦α≦90°とする。


2倍角の公式より、tan2αは、

を用いれば求まることがわかっている。まずはtanαの値を求めなければならない。

sin、cos、tanの関係式に

があるので、まずはcosαの値を求めてから、tanαを計算するようにする。

sinとcosの関係式に、

があるので、これを使ってcosの値を求めていく。

sinα=1/2なのでこれを代入して



ここで、0°≦α≦90°よりcosα>0なので


cosαの値が求まったので、

にsinαとcosαの値を代入して、tanαを求める。



あとは2倍角の公式にtanαの値を代入して、tan2αの値を求める。






答え:tan2α=√3
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『教科書 数学Ⅱ』 東京書籍

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