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14_80 三角関数 / 加法定理/倍角の公式

2倍角の公式 cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αの証明と例題

著者名: となりがトトロ
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cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αの証明


2倍角の公式のうち、

の証明を行っていきますが、証明を行う前にcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβが成り立つことを理解しておきましょう。加法定理が成り立つことを前提に証明をしていきます。

証明

cos2αを変形して

とします。ここに加法定理を用いると、

  -①

ということで、まず1つめが成り立つことがわかりました。
次にsinとcosの関係からsin²α+cos²α=1なので、これを変形した、sin²α=1-cos²αを①に代入すると



が成り立つことがわかりました。
最後に、さっきと同じようにしてsin²α+cos²α=1を変形した、cos²α=1-sin²αを①に代入すると



以上のことから


が成り立つことがわかる。

証明おわり。

練習問題

sinα=1/2のとき、cos2αの値を求めよ。


2倍角の公式より、cos2αは、

を用いれば求まることがわかっている。sinαの値がわかっているので、ここでは、

を用いてcos2αの値を求めていく。



答え:cos2α=1/2
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『教科書 数学Ⅱ』 東京書籍

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