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14_80 三角関数 / 加法定理/倍角の公式

加法定理の証明 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)の証明

著者名: となりがトトロ
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加法定理の証明 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)の証明

タンジェントを使った加法定理に
"tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)"があります。
これを証明してみましょう。

証明

サイン、コサイン、タンジェントの関係式に



があったが、この式の「α」を「α+β」に置き換える。



sin(α+β)、cos(α+β)を加法定理で展開すると右辺は



ここで、ややこしいですが、分子と分母をそれぞれcosαcosβで割ります。

分子





整理して
  -①

ここで、

であることを思い出してください。

sinα/cosα=tanα、sinβcosβ=tanβなので、①式は



となります。

分母





整理して
  -②

ここで、


なので、sinα/cosα=tanα、sinβcosβ=tanβより、②式は


となります。

分子と分母の計算ができたので、再びもとの式に戻すと


が成り立つことがわかります。
証明おわり。
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『教科書 数学Ⅱ』 東京書籍

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