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14_80 三角関数 / 加法定理/倍角の公式

加法定理の証明 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβの証明

著者名: となりがトトロ
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sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβの証明


sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβの証明を行う前に、
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβの証明をマスターしておきましょう。

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβが成り立つことを前提に、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβの証明を行います。

証明

別の証明によってcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβが成り立つことがわかっています。この定理のαを(90°-α)に置き換えてみます。



cos(90°-α)=sinα、sin(90°-α)=cosα
※わからないときはここ

なので、右辺は
 -①


また左辺は


cos(90°-θ)=sinθより
※わからないときはここ

 -②

①と②から


が成り立つことがわかる。
証明おわり。
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・加法定理の証明 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβの証明

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『教科書 数学Ⅱ』 東京書籍

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