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14_80 三角関数 / 加法定理/倍角の公式

加法定理の証明 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβの証明

著者名: となりがトトロ
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cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβの証明


cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβの証明をおこなう前に、
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβの証明をマスターしておきましょう。

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβが成り立つことを前提に、
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβの証明の証明を行います。

証明

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβにおいて、「β」を「-β」におきかえます。すると

  -①

cos(-θ)=cosθ、sin(-θ)=-sinθより
・cos(-β)=cosβ
・sin(-β)=-sinβ
となるので、それにもとづいて①式を変形すると



が成り立つことがわかる。

証明おわり。
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・加法定理の証明 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβの証明

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『教科書 数学Ⅱ』 東京書籍

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