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14_80 三角関数 / 加法定理/倍角の公式

加法定理の証明 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβの証明

著者名: となりがトトロ
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cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβの証明

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図のように、半径が1の単位円上に、点Pと点Qをとります。(自由にとります)
OPとx軸とのなす角をα、OQとx軸とのなす角をβとしたとき、OPとOQのなす角はα-βとなります。そしてPの座標は(cosα,sinα)、Qの座標は(cosβ,sinβ)となります。

証明

準備ができたところで証明にうつります。
△OPQにおいて余弦定理より



OPとOQはともに、半径を1とする単位円の半径と同じ長さなので

  -①

次にPQの長さを考えます。
P(cosα,sinα)、Q(cosβ,sinβ)なので







わからないときはここ

なので、この式は

  -②

①と②より




証明おわり。
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・加法定理の証明 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβの証明

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『教科書 数学Ⅱ』 東京書籍

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