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3_80 図形 / 3年:三平方の定理

三平方の定理の証明

著者名: じょばんに
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三平方の定理

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図のような直角三角形があるとき、a²+b²=c²となるのが三平方の定理でした。では、なぜそうなるのかを証明してみましょう。

三平方の定理の証明

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図のように、正方形ABCDの中に、正方形EFGHが入っています。また、△AEH、△DHG、△CGF、△BFEは合同な三角形で、それぞれの辺の長さがa、b、cとなっています。

このとき正方形ABCDの面積は、

(a+b)×(a+b)=(a+b)²=a²+2ab+b² 
-①

と表せます。また、
正方形ABCD=△AEH+△DHG+△CGF+△BFE+正方形EFGH

でもあるので、次のように表すこともできます。

1/2×a×b+1/2×a×b+1/2×a×b+1/2×a×b+c×c=2ab+c² 
-②

①と②の面積が等しいことから①=②が成り立ちます。

a²+2ab+b²=2ab+c²

この式を整理するとa²+b²=c²が求まりますね。
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『教科書 中学校 数学Ⅲ』 数研出版
『やさしくまるごと中学数学』 吉川直樹 Gakken

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