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12_80 2次関数 / 2次方程式/2次不等式

2次不等式 x²+5x+4>0とx²+5x+4<0の解き方をわかりやすく解説

著者名: はっちゃん
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練習問題を通して理解を深めよう

ここでは2次不等式の解き方についてみていく。2次方程式が解けないと2次不等式は解けないので、不安あある人はまず、2次方程式を完璧にしておくことを勧めたい。

次の2次不等式を解け
(1)x²+5x+4>0
(2)x²+5x+4<0


まずはx²+5x+4=0という2次方程式だと思って、xの値を求める。

x²+5x+4=(x+1)(x+4)=0
x=-1,-4

これからが新しいチャレンジだ。

x²+5x+4>0のように、不等号が0ではない方を向いているときはx<-4、-1<xが答えとなる。xを満たす2つの解のうち、小さい数値よりxは小さく、大きい数値よりxは大きくなる。一方で、x²+5x+4<0のように不等号が0の方を向いているときは、xを満たす2つの値でxをはさむ。つまり-4<x<-1が答えとなる。

なぜこのようになるのかは、グラフを描いてみればわかる。
y=x²+5x+4として、グラフを描くと次のようになる。
ALT


このグラフにおいて、y=x²+5x+4が0より大きくなる、また0より小さくなるのはどの範囲になるだろうか。x<-4、-1<xでy>0となり、-4<x<-1でy<0となることは一目瞭然であろう。

しかし毎回グラフを描いて確認するわけにもいかないので、不等号が0ではない方を向いているときはxを満たす2つの解のうち、小さい数値よりxは小さく、大きい数値よりxは大きくなるり、一方で不等号が0の方を向いているときは、xを満たす2つの値でxをはさむことを覚えておくと、スピーディに解けるようになるだろう。
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『ニューアクションω 数学Ⅰ+A』東京書籍

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