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12_80 2次関数 / 2次関数のグラフとx軸の位置関係・共有点・判別式

2次関数のグラフとx軸との共有点の数を、判別式を使って求める

著者名: はっちゃん
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この単元では、
2次関数のグラフとx軸との共有点の数を求めよ

という問題がある。まず、共有点についてみてみよう。
共有点

まずはグラフの①、②、③をみてほしい。
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①のグラフは、x軸と放物線が2箇所でまじわっている。これが、共有点が2つあるという状態だ。同じように②のグラフではx軸と放物線が1箇所でまじわっているので共有点が1つ、③ではまじわりがないので共有点はなしとなる。2次関数のグラフとx軸の共有点の数は2つ、1つ、なしの3パターンしかないことをまず覚えておこう。
共有点の数の求め方

では、どうやって共有点の数を求めていけばよいのか。一番簡単なのは、与えられた2次関数のグラフをかいてみることだ。必ず①、②、③のどれかのパターンに当てはまるので、一目でわかる。しかし、これだと時間がかかりすぎてしまうために、もっと便利な方法を紹介しよう。
判別式を使う

b²-4acが0より大きいかどうかで判断する


2次関数y=ax²+bx+cがあるときに、b²-4acのことを判別式という。(b²-4ac=Dと表すこともある。)この判別式が0より大きいかどうかで共有点の数を調べることができる。

b²-4ac>0のときは共有点が2こ、b²-4ac=0のときは共有点が1こ、b²-4ac<0のときは共有点なしとなる。「b²-4acって何?」と思うかもしれないが、これは決まりごとなので覚えるしかない。それでも気になる場合は、理由を次のテキストに記したので見てもらいたい。

では早速、練習問題を通して判別式Dの使い方を身に着つけていこう。

f(x)=2x²-5x+3とx軸との共有点の数を求めよ

判別式Dにあてはめると

D=b²-4ac=(-5)²-4×2×3=1>0

D>0なので、共有点の数は2ことなる。本当にそうか確認したい場合には、グラフを描いてみるとよい。
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・2次関数のグラフとx軸との共有点の数を、判別式を使って求める

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『ニューアクションω 数学Ⅰ+A』東京書籍

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