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12_80 2次関数 / 2次方程式/2次不等式

x²+2x+a-1=0,x²+3ax+a²+5a=0が実数解をもつときaの範囲を求める

著者名: はっちゃん
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2つの2次方程式、x²+2x+a-1=0とx²+3ax+a²+5a=0がともに実数解をもつときの定数aの範囲を求めよ。


「実数解とは何?」と思うかもしれないが、要するに解をもつということ。解の数は書かれていないので、x²+2x+a-1=0とx²+3ax+a²+5a=0がともに解を1つもしくは2つもつとき、と解釈できる。

さて、解の数といって真っ先に思い浮かべなければならないのは何であったろうか?そう、判別式(b²-4ac)である。解が1つないし2つあるということは、b²-4ac≧0となることをパッと頭にイメージできるようにしておきたい。

x²+2x+a-1=0

まず、x²+2x+a-1=0についてみていこう。この式が解をもつためには、判別式Dがb²-4ac≧0である必要がある。

D=4-(a-1)=-4a-4≧0
これを解くとa≦2・・・①が求まる。

x²+3ax+a²+5a=0

続いてx²+3ax+a²+5a=0をみていく。同じように、この式が解をもつためには、判別式Dがb²-4ac≧0である必要がある。

D=(3a)²-4(a²+5a)=9a²-4a²-20a=5a²-20a
5a²-20a≧0を解くと、0≦a≦4・・・②が求まる。

①かつ②を満たすaの範囲で、2つの2次方程式x²+2x+a-1=0とx²+3ax+a²+5a=0はともに実数解をもつ。つまり、①と②のどちらも満たす0≦a≦2が答えとなる。

※①と②の共通の範囲が答えとなるのがポイントである。

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『ニューアクションω 数学Ⅰ+A』東京書籍

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