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12_80 2次関数 / 2次方程式/2次不等式

なぜ判別式(b²-4ac)でx軸との共有点の数がわかるのか

著者名: はっちゃん
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なぜ判別式b²-4acで共有点の数がわかるのか

y=ax²+bx+cという2次関数があったとき、この2次関数とx軸との共有点の数はb²-4acが0より大きいか小さいかによって判別することができた。ここでは、なぜb²-4acを用いるのかを説明していこう。

まず、ax²+bx+c=0という2次方程式の解を考えてみる。
実は、y=ax²+bx+cとx軸との共有点のx座標の値は、ax²+bx+c=0の解と等しくなる。つまり、ax²+bx+c=0の解が2つであればy=ax²+bx+cとx軸との共有点も2つとなり、解が1つであれば共有点の数も1つとなる。解なしの場合は共有点もなしとなる。この性質を利用していく。

ax²+bx+c=0の解を求めるためには、解の公式を用いた。


気づいた人もいるかもしれないが、b²-4acは解の公式のルートの中と一致する。

b²-4ac>0

この部分がプラス、すなわちb²-4ac>0のときは、次のように解が2つになる。


b²-4ac=0

ルート内が0、すなわちb²-4ac=0のときは、次のように解が1つ。


b²-4ac<0

ルート内がマイナス、すなわちb²-4ac<0のときは計算ができずに解なしとなる。

さきほども述べたように、y=ax²+bx+cとx軸との共有点のx座標の値は、ax²+bx+c=0の解と等しくなることから、解が2つのときは共有点も2つ、解が1つのときは共有点は1つ、解がないときは共有点もなしとなる。

だから共有点の数を判別するためには、b²-4acを用いるのである。
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・なぜ判別式(b²-4ac)でx軸との共有点の数がわかるのか

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『ニューアクションω 数学Ⅰ+A』東京書籍

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