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12_80 2次関数 / 2次関数の最大・最小値

最大値(-3,t)とその他の2点の座標から2次関数の式を求める

著者名: はっちゃん
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練習問題を通して理解を深めよう

とある2次関数でx=-3のときに最大値tをとり、このグラフが(-2,1)、(-3,2)を通るとき、この2次関数の式を求めよ。


とある2次関数の最大値がt(x=-3)と、yが最大となるときのx座標の値だけわかっており、その他に2つの座標の値がわかっている。この状況で2次関数の式を求める問題にチャレンジしてみよう。

まず2次関数の式がどのように表されたかを思い出そう。2次関数の式は

y=ax²+bx+c ・・・①
y=a(x-p)²+q ・・・②

で表すことができた。①の式を用いる場合、少なくとも3点の座標がわかっている必要があったが、今回与えられたのは(-3、t)、(-2,1)、(-3,2)と3点の座標がわかっているわけではないので②の式の形を用いる。

ここで1つ考えてみてほしい。②は下に凸なグラフを描くだろうか、それとも上に凸なグラフを描くだろうか。ヒントとなるのはx=-3のときに最大値をとるという条件だ。xに範囲がない状態で最大値がわかるのは次のグラフのどちらだろうか。
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答えは、グラフ2の放物線を描くだろう。このことからa<0がわかる。

ちなみに下に凸なグラフの場合、頂点の座標がその関数の最小値となることから、p=-3、q=tとなる。このことから②は

y=a(x+3)²+t

となる。あとはこの式に与えられた座標(-2,1)、(-3,2)を代入してaとtの値を求めればよい。

(-2,1)を代入

1=a(-2+3)²+t
a+t=1 ・・・③

(-3,2)を代入

2=a(-3+3)²+t
t=2 

t=2を③に代入して、a=-1

以上のことから求める2次関数の式は、y=-(x+3)²+2

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『ニューアクションω 数学Ⅰ+A』東京書籍

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