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12_80 2次関数 / 2次関数の最大・最小値

2次関数の最大値・最小値の求め方(xの範囲が与えられた場合)

著者名: はっちゃん
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練習問題を通して理解を深めよう

次の2次関数の最大値または最小値を求めよ
(1)y=2x²-4x-1(ただし0≦x≦3)
(2)y=-x²-4x(ただし-4≦x≦-1)


ここでは、xの範囲が与えられた状態で2次関数の最大値・最小値を求める問題にチャレンジしていこう。

(1)y=2x²-4x-1の最大値・最小値

まずは与えられた関数のグラフを描く。最大最小値を求める問題では必ずグラフを描くように心がけたい。というのもグラフが描ければ90%はクリアできたも同然だからだ。
グラフを描くにあたってまずは、y=2x²-4x-1 の頂点を求めていく。

y=2x²-4x-1
y=2(x²-2x)-1
y=2{(x-1)²-1}-1
y=2(x-1)²-3

このことから(1、-3)を頂点とする下に凸なグラフが描けることがわかる。ただしグラフを描くときに1つ気をつけなければならない。xに範囲が与えられていることを忘れないように。0≦x≦3の範囲でグラフを描くと次のようになる。
ALT



ここから最大値と最小値を探していく。グラフを見ればすぐに答えはわかるだろう。yの値はy=5(x=3)のときに最大となり、y=-3(x=1)のときに最小となる。

(2)y=-x²-4xの最大値・最小値

続いてy=-x²-4xの最大値・最小値を求めていく。(1)と同様にグラフを描いていく。

まずはy=-x²-4xの頂点を求める。

y=-x²-4x
y=-(x²+4x)
y=-(x²+4x+4-4)
y=-(x+2)²+4

このことから(-2、4)を頂点とする、上に凸なグラフが描けることがわかる。、-4≦x≦-1の範囲でグラフを描くと次のようになる。
ALT



こから最大値と最小値を探していく。こちらもグラフを見ればすぐに答えはわかるだろう。y=4(x=-2)のときに最大値となり、y=0(x=-4)のときに最小値となる。


グラフを的確に描くことが正解への近道であることがよくわかったのではないかと思う。

xの範囲がない場合

2次関数の最大値・最小値の求め方(xの範囲なし)
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『ニューアクションω 数学Ⅰ+A』東京書籍

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