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12_80 2次関数 / 2次関数の最大・最小値

2次関数の最大値・最小値の求め方(xの範囲なし)

著者名: はっちゃん
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練習問題を通して理解を深めよう

次の2次関数の最大値または最小値を求めよ
(1)y=2x²-4x-1 
(2)y=-x²-4x


1次関数と同じように、2次関数でも最大値・最小値を求めよという問題が存在する。その中でも最もベーシックな問題についてみていきたい。

(1)y=2x²-4x-1の最大値・最小値

まずは与えられた関数のグラフを描く。最大最小値を求める問題では必ずグラフを描くように心がけたい。というのもグラフが描ければ90%はクリアできたも同然だからだ。
グラフを描くにあたってまずは、y=2x²-4x-1 の頂点を求めていく。

y=2x²-4x-1
y=2(x²-2x)-1
y=2{(x-1)²-1}-1
y=2(x-1)²-3

このことから(1、-3)を頂点とする下に凸なグラフが描けることがわかる。
ALT


ここから最大値と最小値を探していく。ちなみにこの関数の中でyの値が最大となるとき、このyの値を最大値と言い、yの値が最小となるとき、このyの値を最小値と言う。

まずは最小値からみていこう。このグラフの中でyの値が最小となる点はどこだろうか。もっともyが小さいのはy=-3でx=1のときである。すなわちy=-3が最小値となる。では最大値はいくらになるだろうか。xの値が1より大きくなればなるほど、もしくはxの値が1より小さくなればなるほどyの値は無限に大きくなっていく。このようなときは最大値なしが答えとなる。

(2)y=-x²-4xの最大値・最小値

続いてy=-x²-4xの最大値・最小値を求めていく。(1)と同様にグラフを描いていく。

まずはy=-x²-4xの頂点を求める。

y=-x²-4x
y=-(x²+4x)
y=-(x²+4x+4-4)
y=-(x+2)²+4

このことから(-2、4)を頂点とする上に凸なグラフが描けることがわかる。
ALT


このグラフから最大値と最小値を探していく。今度は最大値からみていこう。このグラフの中でyの値が最大となるのは、y=4(x=-2)のときである。一方で最小値はどうだろうか。xの値が−2より大きくなればなるほど、もしくは−2より小さくなればなるほどyの値は限りなく小さくなっていく。この場合は最小値なしが答えとなる。

以上みてきたように、最大値なし、最小値なしという答えが出てくる可能性があることを頭にいれておくようにしたい。

xの範囲が決められている場合

この応用が、xの範囲が決められている場合の問題だ。
2次関数の最大値・最小値の求め方(xの範囲が与えられた場合)
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『ニューアクションω 数学Ⅰ+A』東京書籍

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