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12_80 2次関数 / 2次関数とグラフ(定義域/値域)

頂点と他の1点から2次関数の式を求める

著者名: はっちゃん
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練習問題を通して理解を深めよう

頂点が(1,3)で、点(2,4)を通る条件を満たす2次関数の式を求めよ


ここでは、頂点の座標と他の1点の座標が与えられた状態で、2次関数の式を求める問題にチャレンジしてみよう。果たしてたった2つの点から2次関数の式が求められるのだろうか。

2次関数の式の形を思い出す

まず2次関数の式がどのように表されたかを思い出そう。2次関数は

y=ax²+bx+c ・・・①
y=a(x-p)²+q ・・・②

この2つの式で表すことができた。①か②の式に与えられた条件(つまり座標の値)を代入していけばよいという話だ。

では、①と②とどちらを用いればよいかという話だが、①の場合、わからない数値がa、b、cと3つあるのに対し②の場合はp、qの2つだ。ここで、わからない値が3つの場合は3つの点が与えられている必要があることを覚えておきたい。つまり今回は2点の座標しか与えられていないので、①の式を用いて問題を解くことはできない。このことから、②を用いて求めていく。

座標を式に代入

では早速②に与えられた座標を代入していこう。


ただちょっとまってもらいたい。

y=a(x-p)²+q

において、頂点の座標は(p、q)であった。ラッキーなことに頂点の座標は(1,3)と与えられている。このことからp=1、q=3がわかる。以上のことから②は

y=a(x-1)²+3 ・・・③

までわかった。あとは与えられたもう1つの点(2,4)を代入してaの値を求めればよい。

a=1

以上のことから、求める2次関数の式は

y=(x-1)²+3
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『ニューアクションω 数学Ⅰ+A』東京書籍

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