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16_80 微分法 / 微分法:速度と加速度

平面上の点の運動~速度と加速度~

著者名: OKボーイ
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平面上を移動する点の速度と加速度

平面上を移動する点Aの、時刻tにおける座標を(x、y)とします。このとき点Aにおいて、
時刻tにおける速度  その大きさを
時刻tにおける加速度  その大きさを 
以上のように定めたとき、これらの値は以下の公式によって求めることができます。




問題

xy=9上を動く点Aから、y軸上に垂線ABを引きます。Bがy軸上を毎秒3の速度で動くようにAは動きます。Aが(3、3)を通過するときの速度と加速度を求めてみましょう。

速度

まず、xとyはtについての関数であることからxy=9をtについて微分してみます。すると


また、設問より速度が3なので
 …①
(※数直線場を動く点の速度の公式でしたね。)

①を代入して
 …②

xy=9なので、x=3、y=3を②に代入しみます。

 …③

このことから速度は

加速度

次に、先ほど求めた①と②の両辺をtについて微分してみます(第2次導関数を求めます。)

①より 
②より …④

Aが(3、3)を通過するときの速度を求めるので「y=3」、そして①と③を④に代入します。





よって点Aの加速度は


となります。
計算がややこしいかもしれませんが、今までやってきたことの積み重ねです。
ここでつまづいた人は、どの箇所がわかっていないのかを自分で分析してみましょう。

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『チャート式 数学ⅢC』 数研出版
『教科書 数学Ⅲ』 数研出版

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