新規登録 ログイン

16_80 微分法 / 微分法:関数値の変化・最大最小

導関数の符号と関数の増減に関する性質の証明 1

著者名: OKボーイ
Text_level_1
マイリストに追加
関数f(x)が閉区間[a、b]において連続で、開区間(a、b)において微分可能であるとします。このとき
開区間(a、b)においてつねにf’(x)>0ならば、f(x)は閉区間[a、b]で単調に増加します。

これを証明してみましょう。
証明

まず、[a、b]において任意の値「u」と「v」を設けます。
この2つの値は「a≦u<v≦b」とします。

ここで平均値の定理を使います。平均値の定理とは、関数f(x)が閉区間[a、b]において連続で、開区間(a、b)において微分可能であるとき

となる定数cが存在する、というものでしたね。つまり
 …①(u<c<v)
となるcが存在することになります。

①を変形して


ここで、冒頭にa≦u<v≦bであるとしていますので v-u>0 …②
そしてこの証明は、(a、b)でつねにf’(x)>0であるという条件の上で始まっていますので、f’(c)>0 …③

②と③より(v-u)f’(x)>0
このことから




このことから、開区間(a、b)においてつねにf’(x)>0ならば、f(x)は閉区間[a、b]で単調に増加することがわかります。
Tunagari_title
・導関数の符号と関数の増減に関する性質の証明 1

Related_title


Keyword_title

Reference_title
『教科書 数学Ⅲ』 数研出版
『チャート式 数学ⅢC』 数研出版

この科目でよく読まれている関連書籍

このテキストを評価してください。

※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。

 

テキストの詳細
 閲覧数 6,366 pt 
 役に立った数 1 pt 
 う〜ん数 1 pt 
 マイリスト数 0 pt 

知りたいことを検索!