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16_80 微分法 / 微分法:関数値の変化・最大最小

平均値の定理をよりわかりやすく

著者名: OKボーイ
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はじめに

このテキストでは、微分法において最も重要な定理と言っても過言ではない平均値の定理をよりわかりやすく解説してみます。
平均値の定理

関数f=f(x)は、閉区間[a、b]で連続、開区間(a、b)で微分可能であるとします。このとき、 (a<c<b)を満たす実数「c」が存在する。


これが平均値の定理なのですが、いまいちわかりにくい。。。
もう少しわかりやすく説明してみましょう。
説明

まず、閉区間[a、b]と開区間(a、b)の意味はきちんと把握できていますか?

閉区間[a、b]={x|a≦x≦b}
開区間(a、b)={x|a<x<b}

です。これがわかったところでようやく本題です。
関数y=f(x)が次の図のような曲線を描いているとします。
ALT


曲線の端の点、A(a、f(a))とB(b、f(b))を結ぶ線分の傾きは、

で表されます。

この傾きと、曲線のx=cにおける接線の傾きf’(c)とが等しくなる点C(c、f(c))が曲線AB間に存在している。

すなわち

を満たす点C(c、f(c))が存在している。

これが平均値の定理です。
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『教科書 数学Ⅲ』 数研出版

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