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16_80 微分法 / 関数の和・差・積・商の導関数

関数の積の導関数の公式の証明

著者名: OKボーイ
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積の導関数の公式

2つの関数、f(x)とg(x)が微分可能であるとき、次の公式が成立しました。
{f(x)g(x)}’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)

積の導関数の公式です。今回はこれを証明してみましょう。
証明

左辺


分子に、f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)を便宜的に加えています。そうすると


 …①

ここで、設問からf(x)とg(x)が微分可能であることを思い出してください。つまり
 …②
 …③

②と③を①に代入します。
すると{f(x)g(x)}’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)が求まりましたね。

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『教科書 数学Ⅲ』 数研出版

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