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相似な図形における表面積比と体積比 
著作名: OKボーイ
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相似な図形の面積比と体積比

相似な図形の場合、表面積比と体積比には相関関係があります。
具体的に言うと以下のようなものです。
相似比がk:1である立体の場合、表面積比はであり、体積比は   である。


という法則です。今回はこれの証明をしてみましょう。
まず、以下のように相似な2つの立方体AとBがあったとします。
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2つの立方体の相似比はk:1とします。
すなわち、Aの各辺の長さはBの各辺の長さのk倍となります。
<表面積>

まず表面積についてみていきましょう。
立方体Aの表面積をS、立方体Bの表面積をS1とします。このとき


右辺をまとめると
 …①となります。
ではS1はどうでしょうか。


右辺をまとめると
…② となります。

ここで①と②を比べてみましょう。



以上のことからわかるように、
相似比がk:1の2つの図形において、表面積比はであると言えます。
<体積比>

続いて体積比を証明してみましょう。
表面積比と同じ要領で考えていきます。
立方体Aの体積をV、立方体Bの体積をV1とします。
…③
…④

であることから、③と④の式を比べると


が成り立つことが証明できます。

これと同じ要領で、相似比がm:nの場合
表面積比は 体積比は

と表すこともできます。
仮に公式を忘れてしまっても、このように簡単に求めることができますので、頭の片隅に置いておくようにしてくださいね。

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