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直方体を切り取った図形の面積
著作名: OKボーイ
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図のように、直方体ABCD-EFGHを赤線で切り取ったとします。するとその断面は△ACFとなります。この△ACFの面積Sを求めなさい


空間図形の代表的な問題です。
うーん…ややこしいですね。
まず △ACFの面積を求めるときに、どのようなアプローチをしたらいいのかを考えましょう。
考え方

今まで習った、三角形の面積を求める方法は2つあります。
1つが、S=底辺×高さ÷2 …①
もう1つが  …② でしたね。

高校1年にもなって①で問題を解かせるとは思えないので、②の定理で求めてみましょう。(※どの解法アプローチを使うかの決定なんてこんなものです。)
解答

では、△ACFの面積Sを求めるために必要な値は何でしょうか。
△ACFの2つの辺の長さとその辺が形成する角度のサインですね。

各辺の長さは、△ACD、△AEF、△CFGにそれぞれ 三平方の定理を当てはめればもとまります。
△ACDにおいて 
AC>0より 

同じように、△AEF、△CFGでも三平方の定理を使い
、  となります。
では△ACFだけを図式してみましょう。
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問題は、この△ACFの面積Sを求めなさいということです。
△の3辺だけではサインの値は求まりませんが、余弦定理よりコサインの値なら求めることができます。

ここではsin∠Fを求めれるように、cosFをまず求めます。(∠A、∠Cを使ってやっても構いません。)

余弦定理より




 より


sinF>0なので


これでやっとsinFが求まりました。
ここから面積Sを求めます。
  なので


これが答えです。
空間図形の問題はよくテストにも出ますので、苦手意識を持たないようにしましょう。

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