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2次関数の最大最小値~下向きに凸のグラフ~
著作名: OKボーイ
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2次関数の最大最小値は、 xの定義域によってその値が変化します。
次の問題を一緒に解いてみましょう。

 …①のグラフにおいて

1:-1≦x≦0
2:0≦x≦2
3:2≦x

の場合のそれぞれのyの最大最小値を求めなさい、という問題です。
解法

まず、①の式を変形して、グラフを描いてみましょう。

ですので、①は(1、3)を頂点とする下に凸のグラフになります。
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それでは1から順にみていきましょう。
1:-1≦x≦0 のとき

グラフから、x=-1のときにy=7、x=0のときにy=4となりますので、yの範囲は 4≦y≦7 となります。

よって最大値は、y=7(x=-1のとき)、最小値は、y=4(x=0のとき)が答えです。
2:0≦x≦2 のとき

グラフから、x=0のときにy=4、x=2のときにy=4となります。
しかしよくみてみると、x=1のときにy=3となり、これが最小値であることがわかります。
以上のことから 最大値は4(x=0、2)、最小値は3(x=1)
3:2≦x のとき

グラフから、x=2のときにy=4

このグラフでは、2≦xのときのyの値は、xの値が増加するにつれてyも増えていきます。ですので、 xに制限のない今回の条件下では、yの最大値は存在しないことになります。
よって、最大値なし最小値4(x=2)が答えです。

xの範囲が定められていなければ最大値が存在しない。これが下に凸の2次関数のグラフの特徴でもあります。


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