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2次関数とx軸との交点を求めるのになぜ判別式を用いるのか
著作名: OKボーイ
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なぜ判別式を用いるのか

2次関数のグラフとx軸との交点の数を求めるには判別式Dを用いて、
D>0であれば交点の数は2つ

D=0であれば交点の数は1つ

D<0であれば交点の数は0

と決められています。
しかし、なぜ判別式Dによって交点の数がわかるのでしょうか。
その証明をしてみたいと思います。

 …①という関数について調べてみましょう。
①の関数のグラフが描きやすくするために①の式を
 
という形に書きなおしてみましょう。







となり のグラフは
を頂点とする放射線を描くグラフとなります。

ここまではよろしいでしょうか?
このときフォーカスするのはyの頂点である
です。


上向きの放射線を描くグラフの場合、
「y」の位置がx軸よりも下にあれば、x軸との交点は2つ
「y」の位置がx軸上にあれば、x軸との交点は1つ
「y」の位置がx軸よりも上にあれば、x軸との交点はなし

ALT



一方で下向きの放射線を描く場合
「y」の位置がx軸よりも上にあれば、x軸との交点は2つ
「y」の位置がx軸上にあれば、x軸との交点は1つ
「y」の位置がx軸よりも下にあれば、x軸との交点はなし

ALT



ということが言えます。
が上向き、すなわちa>0のときを考えてみましょう。
a>0のとき


が「+」側にあるか「-」側にあるかは、a>0ですので の値によって左右されます。

このとき であれば
「y」はx軸よりも下にくることになります。
 すなわち 
ですね。

同様にして、 が0であれば、頂点はx軸上にくることになるので、交点は1つです。
2次関数においてaの値は0ではないことが決まっていますので、
 が0になるためには である他ありませんね。

そして「y」の値が+であった場合、このグラフの頂点はx軸よりも上に位置していることを意味します。
 すなわち 
ですね。


以上がa>0の場合でした。a<0の場合にも同様にして求めることができます。
是非一度やってみましょう!

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