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2次関数のグラフとx軸の交点の数
著作名: OKボーイ
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2次関数のグラフとx軸の交点の数

 の関数のグラフを描いたときに、x軸と関数のグラフが交錯する箇所は何箇所あるでしょうかという問題が出されることがあります。

そのような場合、  のグラフを描いてx軸との交点の数を数えるというのが一番原始的なやりかたなのですが、それですと時間もかかってしまいますし、ミスをする可能性も高くなってしまいます。
そこで、手っ取り早く交点の数を調べるために使うのが 判別式と呼ばれる式です。
判別式とは

判別式とは、 のグラフがあったときの
で表されるもので、記号を使って
 と表します。

D>0のときに交点は2つ

D=0のときに交点は1つ

D<0のときに交点はなし

このように、判別式を計算することで交点の数を求めることができます。

本当かどうか、実際にみてみましょう。
 のグラフがあったとしましょう。
このとき判別式Dは

ですので、理論上は交点が2つあるということになります。

では実際にグラフを描いてみてどうでしょうか。
 は変形して
となおすことができます。

つまり(-1,-4)を頂点とする上向きの放射線を描くということですね。この関数のグラフを描くと、次のようになります。
ALT



交点は2つですね。
判別式で求めたとおりです。

以上のように、2次関数とx軸との交点の数を求める場合には判別式Dを用いて求めると問題を解くスピードがあがります。



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