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積の法則を使った約数の個数の求め方
著作名: ふぇるまー
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約数の個数

<問題>
整数20の約数の個数を調べなさい。


ぱっと見、積の法則とは関係のないように思える問題ですが、約数の個数も積の法則を使って求めることができます。しかし、積の法則を意識しないで解くことをおすすめします。なぜなら、これから述べる3ステップで、積の法則のことを考えずに問題を解くことができるようになるからです。

一番簡単なのは、ひとつひとつ書き出してみることです。整数20の約数は、

{1,2,4,5,10,20}

の6個ですね。この問題で与えられた数字は"20"と計算がしやすいものでしたが、仮に"972の約数を求めなさい"と言われたらどうでしょうか。いちいち書き出すのはずいぶんと時間がかかってしまいそうですよね。そのために、計算で求められる方法を身につけておきましょう。

ステップ1:整数を素因数分解する

素因数分解、覚えていますか?与えられた整数を素因数だけで分解する方法です。20の素因数は2と5なので

20=2²×5

と表すことができます。

※1は素因数でないことに注意しましょう。

ステップ2:素因数の正の約数の数を考える

次に、"2²"と"5"の正の約数がいくつあるのかを考えます。

"2²"の正の約数は、
{1,2,2²}の3個


"5"の正の約数は、
{1,5}の2個


ステップ3:正の約数を掛け合わせる

最後に、ステップ2で求めた正の約数の個数を掛けあわせます。

3×2=6

どうでしょう、最初に書きだした6個と同じになりましたね。

それでは練習問題を通して、約数の個数の求め方について慣れていきましょう。


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