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場合の数とは(樹形図を使って考える・樹形図の書き方)
著作名: ふぇるまー
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場合の数とは

ざっくり説明すると、「全部で何通りあるのか」を求める方法を、場合の数の単元で勉強します。例えば次の問題をみてみましょう。

<問題>
3つのサイコロA、B、Cを同時にふったとき、その目の和が6となる組み合わせは何通りあるか求めなさい


「サイコロA、B、Cの目の和が6になる組み合わせが全部で何通りあるのかを考えましょう」という問題です。このように、与えられたいろんな条件のもとで、組み合わせの数を導き出すのが場合の数の単元で勉強することです。

ここではその中でも最初に学習する樹形図についてみていきます。

樹形図とは

場合の数で出題される問題は、極端な話、全部書き出せば答えられます。先ほどの問題、先に答えをいうと10通りですが、10通りぐらいだったら全部書き出しても時間はそれほどかからなさそうですよね。試しにやってみましょう。


Aの目が1、Bの目が2だったとき、3つのサイコロの目の和が6となるためには、Cの目は3である必要があります。

ABC


という1つの組み合わせができました。続けてやってみましょう。

ABC



この2つの組み合わせも、サイコロの目の和は6となります。

しかし、この方法はパッと思いついた組み合わせを書いているだけなので、組み合わせを見落としてしまう可能性があります。そこで樹形図の登場です。効率的に全部の組み合わせを書き出す道具、それが樹形図です。

ALT


みなさんも目にしたことがある図だと思います。樹の枝が分かれていくような形をしていることから樹形図とでも覚えておきましょう。上の図がこの問題の答えを求めるための樹形図の完成形ですが、この図の書き方をみていきます。

樹形図の書き方

先ほど、(1,2,3)、(3,2,1)、(2,2,2)のように、思いついた組み合わせを書き出すだけでは組み合わせを見落とす可能性が高くなると述べましたね。そこで、確実に書きだすためにルールを作りましょう。そのルールとは、「小さい組み合わせから考えていく」です。


A、B、Cと3つのサイコロの目を考えるので、まずは、一番若いAが一番小さい目である1のときを考えます。Aが1とすると、次に若いBの値はどう考えたらよいでしょうか。同じように、Bもまた一番小さい目の1であると考えます。するとCは、必然的に4となります。

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Aが1のとき、BとCの組み合わせはまだまだありそうですね。先ほどはBが1のときを考えたので、次はBが2のときどうなるかを考えます。Aが1、Bが2となると、Cは3となりますね。

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ポイントは、Bが1のときを考えた次は、必ず順番にBが2のときを考えるようにすることです。順番を守らずに、Bが3のときをいきなり考えると、組み合わせを見落とす原因になりますので注意しましょう。


Bが2のときの次は、Bが3のとき、Bが4のときと考えていきます。ちなみにBが5と6のときは、AとBの和だけですでに6以上となってしまうので今回は組み合わせには含まれません。

ALT


以上、Aが1のときに考えられる組み合わせは、出来上がった図から4通りであることがわかりますね。


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