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積分 2つの曲線の間の面積を求める公式の証明
著作名: ふぇるまー
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2つの曲線の間の面積を求める公式の証明

ここでは、2つの曲線の間の面積を求める公式の証明を行っていきます。まず、証明する公式を思い出しておきましょう。

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グラフ上に、2つの曲線y=f(x)とy=g(x)があります。区間a≦x≦bにおいて、f(x)のグラフがg(x)のグラフよりも上にあるとき、y=f(x)とy=g(x)、x=a、x=bに囲まれた部分の面積Sは、



証明

まず、求める面積Sがどのような性質をもっているかを考えてみます。y=f(x)、y=g(x)、x=a、x=bに囲まれる上の図で赤く示した部分は、

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このグレーのかかった部分(S1とします)から、

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こちらのグレーのかかった部分(S2とします)をマイナスしたものであることがわかります。(S=S1−S2)。ということで、S1とS2の面積を求めて引き算をしてみましょう。

S1の面積

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S1は、y=f(x)、x=a、x=b、そしてx軸に囲まれています。a≦x≦bの範囲でy=f(x)はx軸よりも上にあることから、



S2の面積

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S2は、y=g(x)、x=a、x=b、そしてx軸に囲まれています。a≦x≦bの範囲でy=g(x)はx軸よりも上にあることから、



S1−S2

S1−S2をすると、



定積分の公式より、



となり、公式を導くことができました。

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