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数学Ⅱ 定積分の計算方法の基本
著作名: ふぇるまー
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定積分の基本

このテキストから、定積分について学習していきます。

定積分とは名前の通り、不定積分と関連の高いものなので、まずは不定積分をきちんと頭にいれてから、この単元に臨んでくださいね。

不定積分と定積分の違い

まずは不定積分と定積分の式を見比べて、どこが違うのかを確認してみましょう。

<不定積分の式>


<定積分の式>


インテグラルの横に数字があるかないか、これが大きな違いです。

「これだけ?」と思うかもしれませんが、数字があるだけで、計算方法が大きく異なってきます。では、定積分の計算についての説明にうつりましょう。

定積分の公式

まずは、教科書に載っているように、定積分の公式について記してみます。関数"F(x)"を微分したものがf"(x)"だとします。



解き方についてみていきます。

ステップ1


のf(x)を積分したものを"[ ]"の中に書きます。このとき、不定積分で学習した"+C"は考えません。理由はあとで説明します。



ステップ2



次に、インテグラルの横についている数字を、そのまま"[ ]"の横にうつします。



ステップ3



この式は、x=bを代入したものからx=aを代入したものをひいた値を求めなさいを意味しています。ですので、



なぜこのような公式が成り立つかは、グラフの面積を使って証明していくのですが、ここではおいておきましょう。まずは練習問題をたくさんこなして、この公式がパッと頭に思い浮かべるようにしておきましょう。

練習問題

次の定積分を求めなさい。


3x²を積分したものを"[ ]"の中に、インテグラルの横の数字を"[ ]"の横に書きます。



あとは、x³にx=3を代入したものから、x³にx=1を代入したものを引けばOKです。






なぜ+Cを考えないのか

では、今の問題を使って「なぜ+Cを考えないのか」について説明します。仮に"+C"を考慮したとして積分をしてみましょう。








とこのように、計算の過程でCは消えてしまうんですね。それだったら始めから考えないほうが計算が楽になっていいよね、というところから+Cは考慮しないというわけです。


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